查了下网上关于希帕索斯的证明过程,大多不是很具体,自己凭以前看书的印象写一个:
正方形边长为一,假设对角线可以写成整数之比(即有理数a/b,其中a,b为整数,a,b之间没有公共因子),因为正方形对角线交角为直角,则得出:
边长:对角线 = 对角线/2:边长
带入a,b
1/(a/b) = (a/b)/2
即a^2=2b^2
问题来了,因为a,b为正整数,有两种可能性:
如果a是奇数,a平方也为奇数,b平方无论为什么,2b^2肯定是偶数,a为奇数不成立。
如果a是偶数,a=2x 则a平方为4x^2,带入x,b^2=2x^2,b^2为偶数,则b必为偶数,b=2y,b和a之间始终有最小公因子2,假设不成立。
综上所述,正方形对角线不存在有理数a/b(其中a,b为整数,a,b之间没有公共因子),归谬法证明,正方形对角线是无法穷尽的无理数。
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